Doofe Frage, aber hast du beim Bildschirm den Input auch auf HDMI gestellt? 
Normalerweise ist das Automatisch.
Ich habe das natürlich auch manuell versucht, aber das Menü vom Bildschirm geht nicht auf
Hört sich jetzt dumm an, aber ich hate selber das Problem bei meinem neuem PC.
Entweder hast du die Kabel falsch angeschlossen bzw musst im Menü zu deinem Richtigen Slot, oder letztendlich die Grafikkarte geht nicht an etc.
Heist "er bleibt aus" das er gar nichts macht wenn du den PC startest? Oder geht er kurz an, sucht den Input & geht dann aus und bleibt aus?
Wie ist das an anderen Geräten? Gleiches Verhalten? Sonst mal den TV oder sonst was per HDMI verbinden und gucken ob da das gleiche auftritt.
Unwahrscheinlich das der Monitor Schuld ist wenn er vorher funktioniert hat, aber Testen und ausschließen ist immer noch eine gute Methode um Fehler zu finden. Kann ja auch sein das die HDMI Buchse deines Monitors nie funktionierte.
Ansonsten wie @Kamba schon schrieb, die Grafikkarte prüfen ob die auch wirklich mit an geht.
Entweder an deiner Graka oder deinem Mainboard, läuft denn alles normal?
Als mein pc überhitzt ist lief alles bis auf das bild.
Hab mir einfach n laptop geholt dann^^
